टर्मिनल वेग

टर्मिनल वेलोसिटी#

टर्मिनल वेलोसिटी वह स्थिर गति है जिस पर कोई वस्तु किसी द्रव (जैसे हवा या पानी) के माध्यम से गिरती है जब द्रव द्वारा वस्तु की गति के प्रतिरोध की मात्रा वस्तु पर लगने वाली गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होती है।

टर्मिनल वेलोसिटी को प्रभावित करने वाले कारक#

किसी वस्तु की टर्मिनल वेलोसिटी कई कारकों पर निर्भर करती है, जिनमें शामिल हैं:

• द्रव्यमान: वस्तु का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, उसकी टर्मिनल वेलोसिटी उतनी ही अधिक होगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल अधिक लगता है।
• अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल: वस्तु का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल जितना बड़ा होगा, उसकी टर्मिनल वेलोसिटी उतनी ही अधिक होगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़े अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल द्रव से अधिक प्रतिरोध अनुभव करता है।
• द्रव का घनत्व: द्रव जितना अधिक घना होगा, वस्तु की टर्मिनल वेलोसिटी उतनी ही अधिक होगी। ऐसा इसलिए है क्योंकि अधिक घना द्रव वस्तु पर अधिक प्रतिरोध डालता है।
• ड्रैग गुणांक: ड्रैग गुणांक किसी वस्तु के द्रव में गति के प्रतिरोध की माप है। ड्रैग गुणांक जितना अधिक होगा, वस्तु की टर्मिनल वेलोसिटी उतनी ही अधिक होगी।

टर्मिनल वेलोसिटी के अनुप्रयोग#

टर्मिनल वेलोसिटी के कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• पैराशूटिंग: पैराशूट इस तरह डिज़ाइन किए जाते हैं कि वे किसी व्यक्ति या वस्तु की गिरावट को घर्षण बल (drag force) बढ़ाकर धीमा कर देते हैं। इससे वह व्यक्ति या वस्तु एक सुरक्षित टर्मिनल वेग (terminal velocity) तक पहुँच सकता है।
• स्काइडाइविंग: स्काइडाइवर्स अपने शरीर का उपयोग घर्षण पैदा करने के लिए करते हैं और लगभग 120 मील प्रति घंटा (193 किलोमीटर प्रति घंटा) के टर्मिनल वेग तक पहुँचते हैं।
• बैलिस्टिक्स: किसी गोली का टर्मिनल वेग उसकी रेंज और सटीकता निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण कारक होता है।
• ऑटोमोटिव इंजीनियरिंग: किसी कार का टर्मिनल वेग उसकी ईंधन दक्षता और सुरक्षा निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण कारक होता है।

टर्मिनल वेग भौतिकी की एक मूलभूत अवधारणा है जिसके रोज़मर्रा की ज़िंदगी में कई प्रयोग हैं। टर्मिनल वेग को प्रभावित करने वाले कारकों को समझकर हम ऐसी वस्तुओं और प्रणालियों को डिज़ाइन कर सकते हैं जो द्रवों के माध्यम से सुरक्षित और दक्षता से गति कर सकें।

टर्मिनल वेग सूत्र#

किसी वस्तु का टर्मिनल वेग अधिकतम वेग होता है जो वह किसी द्रव (जैसे हवा या पानी) में गिरते हुए प्राप्त कर सकती है। यह तब प्राप्त होता है जब वस्तु पर लगने वाला घर्षण बल उसके भार के बराबर हो जाता है।

सूत्र#

किसी वस्तु का टर्मिनल वेग निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ Vt = \sqrt{(2mg/ρAC_d)} $$

जहाँ:

• $Vt$ टर्मिनल वेग है मीटर प्रति सेकंड (m/s) में
• $m$ वस्तु का द्रव्यमान है किलोग्राम (kg) में
• $g$ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है (9.8 m/s²)
• $\rho$ द्रव का घनत्व है किलोग्राम प्रति घन मीटर (kg/m³) में
• $A$ वस्तु का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है वर्ग मीटर (m²) में
• $Cd$ वस्तु का ड्रैग गुणांक है

ड्रैग गुणांक#

ड्रैग गुणांक एक विमाहीन संख्या है जो यह दर्शाती है कि कोई वस्तु किसी द्रव में गति करते समय कितना ड्रैग अनुभव करती है। यह वस्तु के आकार, इसकी सतह की खुरदरापन और रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर करता है।

रेनॉल्ड्स संख्या एक विमाहीन संख्या है जो किसी वस्तु पर द्रव में कार्यरत जड़त्वीय बलों और श्यान बलों के अनुपात को दर्शाती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$ Re = ρVD/μ $$

जहाँ:

• $\rho$ द्रव का घनत्व है किलोग्राम प्रति घन मीटर (kg/m³) में
• $V$ वस्तु का वेग है मीटर प्रति सेकंड (m/s) में
• $D$ वस्तु की विशिष्ट लंबाई है मीटर (m) में
• $\mu$ द्रव की गतिशील श्यानता है न्यूटन-सेकंड प्रति वर्ग मीटर (N·s/m²) में

उदाहरण#

एक स्काइडाइवर जिसका द्रव्यमान 75 kg है और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 0.5 m² है, 1.2 kg/m³ घनत्व वाली हवा में गिर रहा है। स्काइडाइवर का ड्रैग गुणांक 0.7 है।

स्काइडाइवर का टर्मिनल वेग निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:

$ Vt = \sqrt{(2mg/ρAC_d)} $

$ Vt = \sqrt{(2(75 kg)(9.8 m/s²)/(1.2 kg/m³)(0.5 m²)(0.7))} $

$ Vt = 56.4 m/s $

इसलिए, स्काइडाइवर की अंतिम वेग 56.4 मी/से है।

अंतिम वेग व्युत्पत्ति#

अंतिम वेग वह स्थिर चाल है जिस पर कोई वस्तु किसी द्रव (जैसे हवा या पानी) के माध्यम से गिरती है जब द्रव का प्रतिरोध वस्तु के भार के बराबर हो जाता है। इस व्युत्पत्ति में हम एक गोलाकार वस्तु की द्रव में गिरती हुई अंतिम वेग की गणना करेंगे।

मान्यताएँ

हम निम्नलिखित मान्यताएँ लेंगे:

• वस्तु गोलाकार है।
• द्रव असंपीड़नीय है और इसकी घनत्व स्थिर है।
• वस्तु के चारों ओर द्रव का प्रवाह सुचालक (लैमिनार) है।
• वस्तु स्थिर चाल से गिर रही है।

व्युत्पत्ति

वस्तु पर कार्यरत बल हैं:

भार: वस्तु का भार निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$W = mg$$

जहाँ:

• $W$ वस्तु का भार है न्यूटन (N) में
• $m$ वस्तु का द्रव्यमान है किलोग्राम (kg) में
• $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m/s²) में

ड्रैग: ड्रैग बल द्रव द्वारा वस्तु की गति का प्रतिरोध है। एक गोलाकार वस्तु के लिए ड्रैग बल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$D = \frac{1}{2}C_D\rho Av^2$$

जहाँ:

• $D$ ड्रैग बल है न्यूटन (N) में
• $C_D$ ड्रैग गुणांक है
• $\rho$ द्रव का घनत्व है किलोग्राम प्रति घन मीटर (kg/m³) में
• $A$ वस्तु का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है वर्ग मीटर (m²) में
• $v$ वस्तु का वेग है मीटर प्रति सेकंड (m/s) में

अंतिम वेग पर, वस्तु का भार ड्रैग बल के बराबर होता है:

$$W = D$$

$W$ और $D$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

$$mg = \frac{1}{2}C_D\rho Av^2$$

$v$ के लिए हल करने पर, हम पाते हैं:

$$v = \sqrt{\frac{2mg}{C_D\rho A}}$$

यह किसी गोलाकार वस्तु के द्रव में गिरने की अंतिम वेग का समीकरण है।

उदाहरण

आइए 1 सेमी व्यास वाली एक इस्पात की गेंद का पानी में गिरने पर अंतिम वेग की गणना करें। इस्पात का घनत्व 7850 kg/m³ है और पानी का घनत्व 1000 kg/m³ है। गोले के लिए प्रतिरोध गुणांक लगभग 0.5 है।

इन मानों को अंतिम वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

$$v = \sqrt{\frac{2(7850 \text{ kg/m}^3)(9.8 \text{ m/s}^2)(10^{-2} \text{ m})^3}{0.5(1000 \text{ kg/m}^3)(\pi (10^{-2} \text{ m})^2)}} = 0.98 \text{ m/s}$$

इसलिए, इस्पात की गेंद का अंतिम वेग 0.98 m/s है।

अंतिम वेग के उदाहरण#

अंतिम वेग वह स्थिर गति है जिस पर कोई वस्तु किसी द्रव (आमतौर पर वायु) के माध्यम से गिरती है, जब गुरुत्वाकर्षण बल और द्रव का प्रतिरोध आपस में संतुलित हो जाते हैं। यहां वायु में विभिन्न वस्तुओं के कुछ अंतिम वेग उदाहरण दिए गए हैं:

स्काइडाइवर#

• फैलाई हुई बाज़ की तरह स्थिति में एक स्काइडाइवर का अंतिम वेग लगभग 120 मील प्रति घंटा (193 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।
• एक अनुकूलित स्थिति में स्काइडाइवर का अंतिम वेग लगभग 175 मील प्रति घंटा (282 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।

वर्षा की बूंद#

• 1 मिलीमीटर व्यास वाले एक छोटे बारिश के बूंद की अंतिम वेग लगभग 10 मील प्रति घंटा (16 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।
• 5 मिलीमीटर व्यास वाले एक बड़े बारिश के बूंद की अंतिम वेग लगभग 20 मील प्रति घंटा (32 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।

बर्फ के टुकड़े#

• 1 मिलीमीटर व्यास वाले एक छोटे बर्फ के टुकड़े की अंतिम वेग लगभग 1 मील प्रति घंटा (1.6 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।
• 5 मिलीमीटर व्यास वाले एक बड़े बर्फ के टुकड़े की अंतिम वेग लगभग 5 मील प्रति घंटा (8 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।

धूल के कण#

• 1 माइक्रोमीटर व्यास वाले एक छोटे धूल के कण की अंतिम वेग लगभग 0.001 मील प्रति घंटा (0.0016 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।
• 10 माइक्रोमीटर व्यास वाले एक बड़े धूल के कण की अंतिम वेग लगभग 0.01 मील प्रति घंटा (0.016 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।

उल्कापिंड#

• 1 मीटर व्यास वाले एक छोटे उल्कापिंड की अंतिम वेग लगभग 10 मील प्रति घंटा (16 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।
• 10 मीटर व्यास वाले एक बड़े उल्कापिंड की अंतिम वेग लगभग 100 मील प्रति घंटा (160 किलोमीटर प्रति घंटा) होता है।

किसी वस्तु की अंतिम वेग कई कारकों पर निर्भर करता है, जिसमें वस्तु का द्रव्यमान, आकृति और घनत्व, साथ ही वह द्रव जिसके माध्यम से वह गिर रही है, उसका घनत्व भी शामिल है।

अंतिम वेग पर हल किए गए उदाहरण#

उदाहरण 1: अंतिम वेग की गणना#

एक स्काइडाइवर जिसका द्रव्यमान 75 kg है, 4000 m की ऊँचाई से एक विमान से कूदता है। वायु घनत्व 1.2 kg/m³ है। स्काइडाइवर की टर्मिनल वेग की गणना करें।

हल:

किसी वस्तु का टर्मिनल वेग निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$ v_t = \sqrt{(2mg/ρAC)} $

जहाँ:

• v$_t$ टर्मिनल वेग है, m/s में
• m वस्तु का द्रव्यमान है, kg में
• g गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है (9.8 m/s²)
• ρ वायु घनत्व है, kg/m³ में
• A वस्तु का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है, m² में
• C ड्रैग गुणांक है

इस स्थिति में, स्काइडाइवर का द्रव्यमान 75 kg है, वायु घनत्व 1.2 kg/m³ है, और स्काइडाइवर का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल लगभग 0.5 m² है। एक स्काइडाइवर के लिए ड्रैग गुणांक लगभग 0.7 है।

इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें मिलता है:

$ v_t = \sqrt{(2(75 kg)(9.8 m/s²)/(1.2 kg/m³)(0.5 m²)(0.7))} $

$ v_t = 56.4 m/s $

इसलिए, स्काइडाइवर का टर्मिनल वेग 56.4 m/s है।

उदाहरण 2: टर्मिनल वेग तक पहुँचने में लगने वाले समय की गणना#

एक गेंद जिसका द्रव्यमान 0.5 kg है, 100 m की ऊँचाई से गिराई जाती है। वायु घनत्व 1.2 kg/m³ है। गेंद के टर्मिनल वेग तक पहुँचने में लगने वाले समय की गणना करें।

हल:

किसी वस्तु के टर्मिनल वेग तक पहुँचने में लगने वाला समय निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$ t = (2m/ρAC)ln[(v_t - v_i)/v_t] $

जहाँ:

• t समय है सेकंड में
• m वस्तु का द्रव्यमान है kg में
• ρ वायु घनत्व है kg/m³ में
• A वस्तु का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है m² में
• C प्रतिरोध गुणांक है
• v$_t$ अंतिम वेग है m/s में
• v$_i$ प्रारंभिक वेग है m/s में

इस स्थिति में, गेंद का द्रव्यमान 0.5 kg है, वायु घनत्व 1.2 kg/m³ है, और गेंद का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल लगभग 0.01 m² है। गेंद के लिए प्रतिरोध गुणांक लगभग 0.5 है। गेंद का अंतिम वेग लगभग 10 m/s है।

इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें मिलता है:

$ t = (2(0.5 kg)/(1.2 kg/m³)(0.01 m²)(0.5))ln[(10 m/s - 0 m/s)/10 m/s] $

$ t = 1.67 s $

इसलिए, गेंद को अंतिम वेग तक पहुंचने में लगभग 1.67 सेकंड लगते हैं।

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प्रमुख अवधारणाएं#

मूलभूत सिद्धांत: अंतिम वेग को एक स्काइडाइवर की तरह सोचें जो एक ऐसी गति तक पहुंचता है जहां ऊपर धकेलने वाला वायु प्रतिरोध नीचे खींचने वाले गुरुत्वाकर्षण को ठीक-ठीक संतुलित करता है - एक पूर्ण साम्य उत्पन्न करता है जहां वे निरंतर गति से गिरते हैं, जैसे कोई पंखा धीरे से बसता है।

मुख्य सिद्धांत:

1. अंतिम वेग तब होता है जब प्रतिरोध बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है (कुल बल = 0)
2. वस्तु के द्रव्यमान, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, आकृति (प्रतिरोध गुणांक), और द्रव घनत्व पर निर्भर करता है
3. अंतिम वेग पर गति निरंतर रहती है (कोई और त्वरण नहीं)

प्रमुख सूत्र:

• $V_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho AC_d}}$ - अंतिम वेग गणना
• $F_d = \frac{1}{2}C_D\rho Av^2$ - अंतिम वेग पर प्रतिरोध बल
• साम्यावस्था में: $mg = F_d$ - संतुलन स्थिति

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जेईई के लिए यह क्यों मायने रखता है#

अनुप्रयोग: पैराशूट डिज़ाइन (सुरक्षित लैंडिंग गति), वर्षा बूंदों का निर्माण (वर्षा की बूंदें चोट क्यों नहीं पहुँचातीं), बैलिस्टिक्स (गोली की सीमा की गणना), ऑटोमोटिव सुरक्षा (प्रभाव वेग), खेल (बैडमिंटन शटलकॉक प्रक्षेपवक्र)

प्रश्न प्रकार: विभिन्न आकृतियों के लिए टर्मिनल वेग की गणना करें, प्रयोगात्मक डेटा से ड्रैग गुणांक निर्धारित करें, विभिन्न द्रवों में टर्मिनल वेग की तुलना करें, टर्मिनल वेग तक पहुँचने के समय का विश्लेषण करें, परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रों वाली समस्याओं को हल करें

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सामान्य गलतियाँ#

गलती 1: सोचना कि टर्मिनल वेग का अर्थ शुरुआत से शून्य त्वरण है → सही दृष्टिकोण: वस्तु प्रारंभ में त्वरित होती है, धीरे-धीरे धीमी होती है जब तक कि त्वरण टर्मिनल वेग पर शून्य न हो जाए

गलती 2: यह भूलना कि घने द्रव टर्मिनल वेग को कम करते हैं → सही दृष्टिकोण: हरने वाले द्रव की घनत्व (ρ) हरने वाले में उच्च होने का अर्थ है निम्न टर्मिनल वेग

गलती 3: केवल द्रव्यमान का उपयोग करना आकृति पर विचार किए बिना → सही दृष्टिकोण: टर्मिनल वेग निर्धारित करने के लिए द्रव्यमान और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र/ड्रैग गुणांक दोनों

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संबंधित विषय#

[[Drag Force]], [[Newton’s Laws of Motion]], [[Free Fall]], [[Fluid Mechanics]], [[Reynolds Number]], [[Stokes’ Law]]

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टर्मिनल वेग अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न#

टर्मिनल वेग क्या है?#

टर्मिनल वेलोसिटी वह स्थिर गति है जो एक स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ वस्तु तब प्राप्त करता है जब वायु का प्रतिरोध (ड्रैग) वस्तु को नीचे खींचने वाली गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है। इस बिंदु पर, वस्तु तेजी से गिरना बंद कर देता है और एक स्थिर गति से गिरता रहता है।

टर्मिनल वेलोसिटी को कौन-से कारक प्रभावित करते हैं?#

किसी वस्तु की टर्मिनल वेलोसिटी कई कारकों पर निर्भर करती है, जिनमें शामिल हैं:

• द्रव्यमान: जितना अधिक द्रव्यमान एक वस्तु का होता है, उतनी ही अधिक उसकी टर्मिनल वेलोसिटी होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अधिक द्रव्यमान वाली वस्तुओं पर गुरुत्वाकर्षण का अधिक बल लगता है जो उन्हें नीचे खींचता है।
• क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र: जितना बड़ा किसी वस्तु का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र होता है, उतना ही अधिक उसका ड्रैग होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़े क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का अर्थ है कि वस्तु के पास वायु के खिलाफ धक्का देने के लिए अधिक सतह क्षेत्र होता है।
• आकृति: किसी वस्तु की आकृति भी उसके ड्रैग को प्रभावित करती है। स्ट्रीमलाइन आकृति वाली वस्तुओं को अनियमित आकृति वाली वस्तुओं की तुलना में कम ड्रैग का अनुभव होता है।
• द्रव का घनत्व: किसी वस्तु की टर्मिनल वेलोसिटी उस द्रव के घनत्व पर भी निर्भर करती है जिससे वह गिर रही है। अधिक घनत्व वाले द्रवों से गिरती हुई वस्तुओं को अधिक ड्रैग का अनुभव होता है और इसलिए उनकी टर्मिनल वेलोसिटी कम होती है।

मानव की टर्मिनल वेलोसिटी क्या होती है?#

पृथ्वी के वातावरण में एक मानव की टर्मिनल वेलोसिटी लगभग 120 मील प्रति घंटा (193 किमी/घंटा) होती है। यह मान व्यक्ति के वजन, आकृति और वस्त्रों के आधार पर भिन्न हो सकता है।

एक वर्षा की बूंद की टर्मिनल वेलोसिटी क्या होती है?#

एक बारिश की बूंद की टर्मिनल वेग लगभग १० मील प्रति घंटा (१६ किमी/घंटा) होता है। यह मान बूंद के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

एक स्काइडाइवर की टर्मिनल वेग क्या है?#

पृथ्वी के वायुमंडल में एक स्काइडाइवर की टर्मिनल वेग लगभग १२० मील प्रति घंटा (१९३ किमी/घंटा) होती है। यह मान स्काइडाइवर के वजन, आकार और कपड़ों पर निर्भर करता है।

एक अंतरिक्ष यान की टर्मिनल वेग क्या है?#

पृथ्वी के वायुमंडल में एक अंतरिक्ष यान की टर्मिनल वेग लगभग १७,५०० मील प्रति घंटा (२८,००० किमी/घंटा) होती है। यह मान अंतरिक्ष यान के द्रव्यमान, आकार और वायुमंडल की घनत्व पर निर्भर करता है।

एक उल्का की टर्मिनल वेग क्या है?#

पृथ्वी के वायुमंडल में एक उल्का की टर्मिनल वेग लगभग ४०,००० मील प्रति घंटा (६४,००० किमी/घंटा) होती है। यह मान उल्का के द्रव्यमान, आकार और वायुमंडल की घनत्व पर निर्भर करता है।